Question

已知双曲线x²-

y2

3

=1的左顶点为A₁，右焦点为F₂，P为双曲线右支上一点，则

PA1

•

PF2

最小值为

 

．

Answer 1

分析：根据题意，设P（x，y）（x≥1），根据双曲线的方程，易得A₁、F₂的坐标，将其代入

PA1

•

PF2

中，可得关于x、y的关系式，结合双曲线的方程，可得

PA1

•

PF2

=4x²-x-5=4(x-

1

8

)2-5-

1

16

，由x的范围，可得答案．

解答：解：根据题意，设P（x，y）（x≥1），
易得A₁（-1，0），F₂（2，0），

PA1

•

PF2

=（-1-x，y）•（2-x，y）=x²-x-2+y²，
又x²-

y2

3

=1，故y²=3（x²-1），
于是

PA1

•

PF2

=4x²-x-5=4(x-

1

8

)2-5-

1

16

，
当x=1时，取到最小值-2；
故答案为：-2．

点评：本题考查双曲线方程的应用，涉及最值问题；解题的思路是先设出变量，表示出要求的表达式，结合圆锥曲线的方程，将其转化为只含一个变量的关系式，进而由不等式的性质或函数的最值进行计算．