题目内容
(满分12分)设函数.
(Ⅰ)求函数的单调递增区间;
(II)若关于的方程在区间内恰有两个相异的实根,求实数的取值范围.
(1)函数的单调递增区间为.(2).
解析试题分析:(1)函数的定义域为,
∵,
∵,则使的的取值范围为,
故函数的单调递增区间为.
(2)方法1:∵,
∴.
令,
∵,且,
由.
∴在区间内单调递减,在区间内单调递增,
故在区间内恰有两个相异实根
即解得:.
综上所述,的取值范围是
方法2:∵,
∴.
即,
令, ∵,且,
由.
∴在区间内单调递增,在区间内单调递减.
∵,,,
又,
故在区间内恰有两个相异实根.
即.
综上所述,的取值范围是.
考点:本题主要考查导数的应用,利用导数研究函数的单调性、最值,方程解的讨论,不等式组的解法。
点评:中档题,导数的应用是高考必考内容,思路往往比较明确根据导数值的正负,确定函数的单调性。对于方程解的讨论,本解法提供了“数形结合法”和“导数法”两种方法,都说明要充分研究函数的图象特征,利用函数的图象特征解题。本题涉及到了对数函数,应特别注意函数的定义域。
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