题目内容
（2013•静安区一模）已知椭圆
+
=1的两个焦点为F1（-c，0）、F2（c，0），c2是a2与b2的等差中项，其中a、b、c都是正数，过点A（0，-b）和B（a，0）的直线与原点的距离为
．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点A作直线交椭圆于另一点M，求|AM|长度的最大值；
（3）已知定点E（-1，0），直线y=kx+t与椭圆交于C、D相异两点．证明：对任意的t＞0，都存在实数k，使得以线段CD为直径的圆过E点．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| ||
| 2 |
（1）求椭圆的方程；
（2）过点A作直线交椭圆于另一点M，求|AM|长度的最大值；
（3）已知定点E（-1，0），直线y=kx+t与椭圆交于C、D相异两点．证明：对任意的t＞0，都存在实数k，使得以线段CD为直径的圆过E点．
分析：（1）利用c2是a2与b2的等差中项，可得c2=a2-b2=
，设出直线方程，利用直线与原点的距离为
，建立等式，求出几何量，即可求椭圆的方程；
（2）设M的坐标，表示出|AM|2，即可求|AM|长度的最大值；
（3）直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理及以CD为直径的圆过E点，结合向量知识，即可得到结论．
| a2+b2 |
| 2 |
| ||
| 2 |
（2）设M的坐标，表示出|AM|2，即可求|AM|长度的最大值；
（3）直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理及以CD为直径的圆过E点，结合向量知识，即可得到结论．
解答：（1）解：在椭圆中，由已知得c2=a2-b2=
（1分）
过点A（0，-b）和B（a，0）的直线方程为
+
=1，即bx-ay-ab=0，
该直线与原点的距离为
，由点到直线的距离公式得：
=
（3分）
解得：a2=3，b2=1，所以椭圆方程为
+
=1（4分）
（2）解：设M（x，y），则x2=3（1-y2），|AM|2=x2+（y+1）2=-2y2+2y+4，其中-1≤y≤1（16分）
当y=
时，|AM|2取得最大值
，所以|AM|长度的最大值为
（9分）
（3）证明：将y=kx+t代入椭圆方程，得（1+3k2）x2+6ktx+3t2-3=0，
由直线与椭圆有两个交点，所以△=（6kt）2-12（1+3k2）（t2-1）＞0，解得k2＞
（11分）
设C（x1，y1）、D（x2，y2），则x1+x2=-
，x1•x2=
，
因为以CD为直径的圆过E点，所以
•
=0，即（x1+1）（x2+1）+y1y2=0，（13分）
而y1y2=（kx1+t）（kx2+t）=k2x1x2+tk(x1+x2)+t2，
所以(k2+1)
-(tk+1)
+t2+1=0，解得k=
（14分）
如果k2＞
对任意的t＞0都成立，则存在k，使得以线段CD为直径的圆过E点．(
)2-
=
＞0，即k2＞
．
所以，对任意的t＞0，都存在k，使得以线段CD为直径的圆过E点．（16分）
| a2+b2 |
| 2 |
过点A（0，-b）和B（a，0）的直线方程为
| x |
| a |
| y |
| -b |
该直线与原点的距离为
| ||
| 2 |
| ab | ||
|
| ||
| 2 |
解得：a2=3，b2=1，所以椭圆方程为
| x2 |
| 3 |
| y2 |
| 1 |
（2）解：设M（x，y），则x2=3（1-y2），|AM|2=x2+（y+1）2=-2y2+2y+4，其中-1≤y≤1（16分）
当y=
| 1 |
| 2 |
| 9 |
| 2 |
3
| ||
| 2 |
（3）证明：将y=kx+t代入椭圆方程，得（1+3k2）x2+6ktx+3t2-3=0，
由直线与椭圆有两个交点，所以△=（6kt）2-12（1+3k2）（t2-1）＞0，解得k2＞
| t2-1 |
| 3 |
设C（x1，y1）、D（x2，y2），则x1+x2=-
| 6kt |
| 1+3k2 |
| 3(t2-1) |
| 1+3k2 |
因为以CD为直径的圆过E点，所以
| EC |
| ED |
而y1y2=（kx1+t）（kx2+t）=k2x1x2+tk(x1+x2)+t2，
所以(k2+1)
| 3(t2-1) |
| 1+3k2 |
| 6kt |
| 1+3k2 |
| 2t2-1 |
| 3t |
如果k2＞
| t2-1 |
| 3 |
| 2t2-1 |
| 3t |
| t2-1 |
| 3 |
| (t2-1)2+t2 |
| 9t2 |
| t2-1 |
| 3 |
所以，对任意的t＞0，都存在k，使得以线段CD为直径的圆过E点．（16分）
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目