题目内容
【题目】如图,在三棱锥P-ABC中,平面PAC⊥平面ABC,和都是正三角形, , E、F分别是AC、BC的中点,且PD⊥AB于D.
(Ⅰ)证明:直线⊥平面;
(Ⅱ)求二面角的正弦值.
【答案】(Ⅰ)证明见解析(Ⅱ)
【解析】
(Ⅰ)根据正三角形的性质和面面垂直的性质得面,继而可得出,由线面垂直的判断可得证;
(Ⅱ)以点E为坐标原点,EA所在的直线为x轴,EB所在的直线为y轴,建立空间直角坐标系如图示,,得出点的坐标,继而求得面的法向量,根据二面角的坐标计算公式可得出二面角的正弦值.
(Ⅰ)∵E、F分别是AC、BC的中点,∴EF//AB,
在正三角形PAC中,PE⊥AC,又平面PAC⊥平面ABC,平面PAC平面ABC=AC,
∴PE⊥平面ABC,∴且PE⊥AB,又PD⊥AB,PEPD=P,
∴AB⊥平面PED, 又//,
∴,又,,
∴直线⊥平面.
(Ⅱ)∵平面PAC⊥平面ABC,平面PAC∩平面ABC=AC,BE⊥AC,
∴BE⊥平面PAC,
以点E为坐标原点,EA所在的直线为x轴,EB所在的直线为y轴,建立空间直角坐标系如图示:
则,, ,
设为平面PAB的一个法向量,则由得
,令,得,即,
设二面角的大小为,则,则,
,
即二面角的正弦值为.
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