题目内容
【题目】如图，在平面直角坐标系
中，椭圆
：
的左右焦点分别为
，
，椭圆右顶点为
，点在圆：
上.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）点
在椭圆上，且位于第四象限，点
在圆上，且位于第一象限，已知
，求直线
的斜率.
【答案】（1）
（2）
【解析】
（1）由题意知
，
的值，及，
，之间的关系求出椭圆的标准方程；
（2）设
，
的坐标，设直线
的方程，由向量的关系可得
，，三点关系，直线与圆联立求出的坐标，直线与椭圆联立求出的坐标，再由向量的关系求出参数，进而求出直线
的斜率．
（1）圆：
的圆心
，半径
，与
轴交点坐标为
，
，
点
在圆：上，所以
，从而
，
，
所以
，所以椭圆
的标准方程为.
（2）由题，设点
，
，
；点
，
，
.
则
，
，由
知点，，共线.
直线的斜率存在，可设为
，则直线的方程为
，
由
，得
，或
，
所以
，
由
，得
，解得
，或
，
所以
，
代入得
，
，又
，得
，
所以
，又
，可得直线的斜率为
.
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