Question

【题目】已知椭圆： 的焦距为2，过短轴的一个端点与两个焦点的圆的面积为，过椭圆的右焦点作斜率为（）的直线与椭圆相交于、两点，线段的中点为．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过点垂直于的直线与轴交于点，求的值．

Answer 1

【答案】（1）椭圆的方程为．（2）．

【解析】试题分析：（1）建立方程组， ， 椭圆的方程为；（2）联立直线的方程和椭圆方程得， 为线段的中点，再求得的方程为．

试题解析：

（1）过短轴的一个端点与两个焦点的圆的半径为，设右焦点的坐标为，依题意知，

又，解得， ， ，

所以椭圆的方程为．

（2）设过椭圆的右焦点的直线的方程为，

将其代入，得，

设， ，

则， ，

∴，

因为为线段的中点，

故点的坐标为，

又直线的斜率为，

直线的方程为，

令，得，由点的坐标为，

则，解得．