题目内容
【题目】若存在实数,对任意实数
,使不等式
恒成立,则实数
的取值范围为________.
【答案】
【解析】
不等式可化为不等式
,等价于存在实数a,b,对任意
,不等式
成立,等价于存在实数a,b,不等式
成立,分别讨论
,
,
的情况,注意由任意性和存在性可知需先求出
,再求
即可解决.
不等式可化为不等式
,
原题等价于存在实数a,b,对任意,不等式
成立,
等价于存在实数a,b,不等式成立,
令,则
,
(1)在上,当
,即
时,函数单调递减,
此时,
当时,
,且
,则
,
当时,
,且
,则
,
从而当时,设
,
则在
单调递减,在
单调递增,
所以时,
取最小值,最小值为
;
(2)当时,由
可得,y在
上单调递减,在
上单调递增,
①在时,
,则
,
同理可得,当时,
,则
在
单调递减,在
单调递增,故当
时,
取最小值,最小值为
;
②在时,
,则
,
同理可得,当时,
,则
在
单调递减,在
单调递增,
故当时,
取最小值,最小值为
,
根据对勾函数的性质可得,.
综上所述,,即
,
.
故答案为:.
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练习册系列答案
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【题目】某校高三的某次数学测试中,对其中100名学生的成绩进行分析,按成绩分组,得到的频率分布表如下:
组号 | 分组 | 频数 | 频率 |
第1组 | [90,100) | 15 | ① |
第2组 | [100,110) | ② | 0.35 |
第3组 | [110,120) | 20 | 0.20 |
第4组 | [120,130) | 20 | 0.20 |
第5组 | [130,140) | 10 | 0.10 |
合计 | 100 | 1.00 |
(1)求出频率分布表中①、②位置相应的数据;
(2)为了选拔出最优秀的学生参加即将举行的数学竞赛,学校决定在成绩较高的第3、4、5组中分层抽样取5名学生,则第4、5组每组各抽取多少名学生?