题目内容
【题目】已知椭圆的左、右焦点分别为
、
,离心率
,点
在椭圆
上.
(1)求椭圆的方程;
(2)设过点且不与坐标轴垂直的直线交椭圆
于
、
两点,线段
的垂直平分线与
轴交于点
,求点
的横坐标的取值范围;
(3)在第(2)问的条件下,求面积的最大值.
【答案】(1);(2)
;(3)
.
【解析】试题分析:
(1)由题意求得,则椭圆方程为
.
(2)将直线方程与椭圆方程联立,整理可得
,则
的取值范围为
.
(3)面积公式: ,求导讨论可得
面积的最大值为
.
试题解析:(1)点
在且椭圆
上,
,
,
,
,
,
椭圆
的方程为
.
(2)设直线的方程为
,
代入,整理得
.
直线
过椭圆的右焦点
,
方程有两个不等实根.
记,
中点
,
则,
,
,
垂直平分线
的方程为
.
令,得
.
,
.
的取值范围为
.
(3),
而,
由,可得
.
所以.
又,所以
.
所以的面积为
.
设,则
.
可知在区间
单调递增,在区间
单调递减.
所以,当时,
有最大值
.
所以,当时,
的面积有最大值
.
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