题目内容

【题目】已知椭圆的左、右焦点分别为,离心率,点在椭圆上.

(1)求椭圆的方程;

(2)设过点且不与坐标轴垂直的直线交椭圆两点,线段的垂直平分线与轴交于点,求点的横坐标的取值范围;

(3)在第(2)问的条件下,求面积的最大值.

【答案】(1);(2);(3).

【解析】试题分析:

(1)由题意求得,则椭圆方程为.

(2)将直线方程与椭圆方程联立,整理可得 ,则的取值范围为.

(3)面积公式: ,求导讨论可得面积的最大值为.

试题解析:(1)在且椭圆上,

椭圆的方程为.

(2)设直线的方程为

代入,整理得.

直线过椭圆的右焦点 方程有两个不等实根.

中点

垂直平分线的方程为.

,得 .

. 的取值范围为.

(3)

,可得.

所以.

,所以.

所以的面积为.

,则.

可知在区间单调递增,在区间单调递减.

所以,当时, 有最大值.

所以,当时, 的面积有最大值.

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