题目内容
【题目】关于的函数
.
(Ⅰ)若为单调函数,试求实数
的取值范围;
(Ⅱ)讨论的零点个数.
【答案】(1)(2)见解析
【解析】试题分析:(1)分两种情况, 时,
时,分别求导研究函数的单调性;(2)结合第一问的单调性,和函数图像,从三方面来考虑函数的变化趋势
或
,
,
或
时。
解析:
(Ⅰ)的定义域为
,
①时,
恒成立,故
为单调递增函数.
②时,令
,
.
当时,
,
当时,
.
∴在
上单调递增,在
上单调递减.
∴为
的极大值点,也是
上的最大值点.
若,得
∴时,
,则
,∴
在
上单调递减.
综上,若为单调函数,实数
的取值范围是
.
若使用变量分离法,参照标准给分.
(Ⅱ)由题设知, ,
①由(Ⅰ)知, 或
时,
单调,故
只一个零点.
②若得
得
,
则.
当或
时
,即
,
当时
.即
.
在
和
上单调递减,在
上单调递增,
∴的极小值点
,极大值点
.
又,
根据函数的增长速度, 时
,
时
,
∴有两个零点,一个在区间
,另一个为
.
③或
时,有
.
又在
上单调递增,在
上单调递减,
且,
时
,
故必存在不为1的,
,使得
,
故时,
,则
;
时,
,则
.
∴在
和
上单调递减,在
上单调递增.
时,
,故
,由
及
时
,
时
知,
有三个零点.
时,
∵.
,即
,
∴必有且
,
.
又时
,
时
,
故有三个零点.
综上, 或
等时,
只一个零点;
时,
有两个零点;
或
时,
有三个零点.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】4月16日摩拜单车进驻大连市旅顺口区,绿色出行引领时尚,旅顺口区对市民进行“经常使用共享单车与年龄关系”的调查统计,若将单车用户按照年龄分为“年轻人”(20岁~39岁)和“非年轻人”(19岁及以下或者40岁及以上)两类,抽取一个容量为200的样本,将一周内使用的次数为6次或6次以上的称为“经常使用单车用户”。使用次数为5次或不足5次的称为“不常使用单车用户”,已知“经常使用单车用户”有120人,其中是“年轻人”,已知“不常使用单车用户”中有
是“年轻人”.
(1)请你根据已知的数据,填写下列列联表:
年轻人 | 非年轻人 | 合计 | |
经常使用单车用户 | |||
不常使用单车用户 | |||
合计 |
(2)请根据(1)中的列联表,计算值并判断能否有
的把握认为经常使用共享单车与年龄有关?
(附:
当时,有
的把握说事件
与
有关;当
时,有
的把握说事件
与
有关;当
时,认为事件
与
是无关的)