Question

5．设集合A为函数y=ln（-x²-2x+8）的定义域，集合B为函数y=x+$\frac{1}{x}$-1的值域．集合C为不等式（ax-$\frac{1}{a}$）（x+4）≤0的解集．
（1）求A∩B；
（2）若C⊆C_RA，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由-x²-2x+8＞0解出A=（-4，2），利用基本不等式解出B=（-∞，-3）∪（1，+∞），从而解出A∩B；
（2）讨论a的符号，解出C，利用C⊆C_RA的关系，得出C与C_RA的端点值大小关系，列出不等式解出．

解答 解：（1）由y=ln（-x²-2x+8）有意义得
-x²-2x+8＞0，解得-4＜x＜2．
∴A=（-4，2）．
当x＞0时，x+$\frac{1}{x}$-1≥2$\sqrt{x•\frac{1}{x}}$-1=1，当且仅当x=1时取等号，
当x＜0时，x+$\frac{1}{x}$-1=-（-x-$\frac{1}{x}$）-1≤-2$\sqrt{-x•\frac{1}{-x}}$-1=-3，当且仅当x=-1时取等号，
∴函数y=x+$\frac{1}{x}$-1的值域为（-∞，-3）∪（1，+∞）．
∴B=（-∞，-3）∪（1，+∞）
∴A∩B=（-4，-3）∪（1，2）．
（2）∁_RA=（-∞，-4]∪[2，+∞）．
令（ax-$\frac{1}{a}$）（x+4）=0得
x₁=$\frac{1}{{a}^{2}}$，x₂=-4
①当a＞0时，（ax-$\frac{1}{a}$）（x+4）≤0的解为-4$＜x＜\frac{1}{{a}^{2}}$
∴C=（-4，$\frac{1}{{a}^{2}}$），显然与C⊆C_RA矛盾．
②当a＜0时，（ax-$\frac{1}{a}$）（x+4）≤0的解为x≤-4或x≥$\frac{1}{{a}^{2}}$．
若C⊆C_RA，则a²≥2，解得a≤-$\sqrt{2}$．
综上所述：a的取值范围是（-∞，-$\sqrt{2}$）．

点评 本题考查了函数的定义域，值域，一元二次不等式的解法及集合运算，属于知识点的综合应用．