Question

10．已知向量$\overrightarrow{a}$=（2sinx，cosx），$\overrightarrow{b}$=（$\sqrt{3}$cosx，2cosx），函数f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$+m的最大值为2
（1）求实数m的值；
（2）求f（x）的递减区间．

Answer 1

分析 （1）利用平面向量数量积的运算及三角函数恒等变换可求函数解析式f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+m+1，利用正弦函数的有界性即可得解．
（2）根据正弦函数的图象和性质即可求得f（x）的递减区间．

解答 解：（1）∵f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$+m=2$\sqrt{3}$sinxcosx+2cos²x+m=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x+1+m=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+m+1，
∴由题意可得：2=2+m+1，解得：m=-1．
（2）∵由（1）可得：f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$），
∴由2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ$+\frac{3π}{2}$，k∈Z可解得f（x）的递减区间为：[kπ$+\frac{π}{6}$，k$π+\frac{2π}{3}$]，k∈Z．

点评 本题考查了三角函数的单调性、数量积运算性质，考查了正弦函数的图象和性质，三角函数恒等变换的应用，考查了计算能力，属于中档题．