题目内容
【题目】在平面直角坐标系
中，
，
，且
满足
.记点
的轨迹为曲线
.
（1）求的方程，并说明是什么曲线；
（2）若
，
是曲线上的动点，且直线
过点
，问在
轴上是否存在定点
，使得
？若存在，请求出定点的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）
，
是中心在坐标原点，焦点在
轴上的椭圆（不含左、右顶点）；（2）存在定点
【解析】
（1）设点
的坐标为
，
说明
，把这个等式用
表示出来化简后即得；
（2）假设存在的定点
符合题意，当直线
的斜率
存在时，设其方程为
，
，
，由直线方程与椭圆方程联立消去
得的一元二次方程，应用韦达定理得
， 
，得
，代入化简后分析所得式子与无关时的
值，同时验证斜率不存在时，定点
也满足．
（1）由，得，设点的坐标为，则：
，化简得：
，
曲线的方程为
是中心在坐标原点，焦点在轴上的椭圆（不含左、右顶点）
（2）假设存在的定点符合题意
由题意知：直线
的斜率分别为
，
由题意及（1）知：直线与直线均不重合，当直线的斜率存在时
设其方程为，，
由，得直线
的倾斜角互补，故
又
①
由
消去，整理得：
.
，又
，
②
代②入①得：
③
当
时，又不恒为0，当且仅当
时，③式成立
当直线的斜率存在时，存在定点满足题意.
当直线的斜率不存在时，点满足
，也符合题意.
综上所述，在 轴上存在定点，使得.
【题目】某个地区计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水的年入流量
（年入流量：一年内上游来水与库区降水之和，单位：十亿立方米）都在4以上，其中，不足8的年份有10年，不低于8且不超过12的年份有35年，超过12的年份有5年，将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立.
（1）求未来4年中，至多有1年的年入流量超过12的概率；
（2）若水的年入流量与其蕴含的能量
（单位：百亿万焦）之间的部分对应数据为如下表所示：
年入流量 | 6 | 8 | 10 | 12 | 14 |
蕴含的能量 | 1.5 | 2.5 | 3.5 | 5 | 7.5 |
用最小二乘法求出关于的线性回归方程
；（回归方程系数用分数表示）
（3）水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量限制，并有如下关系：
年入流量 |
|
|
|
发电机最多可运行台数 | 1 | 2 | 3 |
若某台发电机运行，则该台年利润为5000万元；若某台发电机未运行，则该台年亏损800万元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？
附：回归方程系数公式：
，
.
