题目内容
设不等式组所表示的平面区域为,记内的整点(横坐标、纵坐标为整数的点)的个数是.
(1)求a1,a2的值及数列的通项公式;
(2)设,设为数列的前n项和,求;
(3)设,求证:
(1)求a1,a2的值及数列的通项公式;
(2)设,设为数列的前n项和,求;
(3)设,求证:
由题意得:,一般地,当,,记直线为,与直线的交点纵坐标分别为,则,,数列的通项公式为.
(2)由(1)知,,用错位相减法得
(3)由(1)知,,欲证,即证,
方法1:,
,
方法:数学归纳法:先证右边当,显然成立;
命题成立,即,当时,左边
右边.
综合,当,命题右边成立。
再证左边
当,显然成立;
命题成立,即,
当时,右边
左边.
综合,当,命题左边成立.
即当,命题成立.
(2)由(1)知,,用错位相减法得
(3)由(1)知,,欲证,即证,
方法1:,
,
方法:数学归纳法:先证右边当,显然成立;
命题成立,即,当时,左边
右边.
综合,当,命题右边成立。
再证左边
当,显然成立;
命题成立,即,
当时,右边
左边.
综合,当,命题左边成立.
即当,命题成立.
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