题目内容
已知椭圆的离心率为,以原点为圆心,椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)若过点的直线与椭圆相交于两点,设为椭圆上一点,且满足(其中为坐标原点),求整数的最大值.
(Ⅰ). (Ⅱ)的最大整数值为1.
解析试题分析:(Ⅰ)由题知, 所以.即.
又因为,所以,.
故椭圆的方程为. 5分
(Ⅱ)由题意知直线的斜率存在.
设:,,,,
由得.
,.
, 8分
∵,∴,,
.
∵点在椭圆上,∴,
∴ 12分
,
∴的最大整数值为1. 14分
考点:本题主要考查椭圆标准方程,直线与椭圆的位置关系,存在性问题研究。
点评:难题,曲线关系问题,往往通过联立方程组,得到一元二次方程,运用韦达定理。本题求椭圆、标准方程时,主要运用了椭圆的几何性质。对于存在性问题,往往先假设存在,利用已知条件加以探究,以明确计算的合理性。本题(III)通过假设t,利用韦达定理进一步确定t与k的关系式,通过确定函数的值域,得到t的范围。
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