已知椭圆左.右焦点分别为F1.F2.点.点F2在线段PF1的中垂线上.(1)求椭圆C的方程,(2)设直线与椭圆C交于M.N两点.直线F2M与F2N的倾斜角互补.求证:直线过定点.并求该定点的坐标. 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

（本小题满分12分）
已知椭圆左、右焦点分别为F₁、F₂，点，点F₂在线段PF₁的中垂线上。
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线与椭圆C交于M、N两点，直线F₂M与F₂N的倾斜角互补，求证：直线过定点，并求该定点的坐标。

（1）（2）由
则且由已知直线F₂M与F₂N的倾斜角互补，
整理得直线MN过定点，该定点的坐标为（2，0）

解析试题分析：（1）由椭圆C的离心率
得，其中，
椭圆C的左、右焦点分别为
又点F₂在线段PF₁的中垂线上

解得

（2）由题意，知直线MN存在斜率，其方程为
由
消去
设
则
且
由已知直线F₂M与F₂N的倾斜角互补，
得
化简，得

整理得
直线MN的方程为，
因此直线MN过定点，该定点的坐标为（2，0）
考点：椭圆方程性质及直线与椭圆相交问题
点评：直线与椭圆相交问题常用的思路：直线方程与椭圆方程联立，整理为x的二次方程，利用根与系数的关系，将所求问题转化到两根来表示

练习册系列答案

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