题目内容

双曲线=1(a>0,b>0)的离心率为2,坐标原点到直线AB的距离为,其中A(0,-b),B(a,0).
(1)求双曲线的标准方程;
(2)设F是双曲线的右焦点,直线l过点F且与双曲线的右支交于不同的两点P、Q,点M为线段PQ的中点.若点M在直线x=-2上的射影为N,满足·=0,且||=10,求直线l的方程.

(1) x2=1.(2) 3x-y-6=0或3x+y-6=0.

解析试题分析:(1)依题意有
解得a=1,b=,c=2.所以,所求双曲线的方程为x2=1.(4分)
(2)当直线l⊥x轴时,||=6,不合题意.(5分)
当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=k(x-2).
得,
(3-k2)x2+4k2x-4k2-3=0.                          
因为直线与双曲线的右支交于不同两点,所以3-k2≠0.(7分)
设P(x1,y1),Q(x2,y2),M(x0,y0),则x1、x2是方程①的两个正根,于是有

所以k2>3。 (9分)
因为·=0,则PN⊥QN,又M为PQ的中点,||=10,所以|PM|=|MN|=|MQ|=|PQ|=5.
又|MN|=x0+2=5,∴x0=3,
而x0=3,∴k2=9,解得k=±3.(10分)
∵k=±3满足②式,∴k=±3符合题意.
所以直线l的方程为y=±3(x-2).
即3x-y-6=0或3x+y-6=0.(12分)
考点:本题主要考查双曲线的标准方程,双曲线的几何性质,直线与双曲线的位置关系,直线方程。
点评:中档题,涉及双曲线的题目,在近些年高考题中是屡见不鲜,往往涉及求标准方程,研究直线与双曲线的位置关系。求标准方程,主要考虑定义及a,b,c,e的关系,涉及直线于双曲线位置关系问题,往往应用韦达定理。本题利用“垂直关系”较方便的得到了直线的斜率,进一步确定得到直线方程。

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