Question

（本题满分12分）
已知直线与曲线交于不同的两点，为坐标原点．
（1）若，求证：曲线是一个圆；
（2）若，当且时，求曲线的离心率的取值范围．

Answer 1

（1）设直线与曲线的交点为∴
在上∴，两式相减得∴ 即： ∴曲线是一个圆  
（2）

解析试题分析：（1）证明：设直线与曲线的交点为

∴ 即：
∴                         ……………………2分
在上
∴，
∴两式相减得：         ……………………4分
∴ 即：                  
∴曲线是一个圆                           ……………………6分
（2）设直线与曲线的交点为，

∴曲线是焦点在轴上的椭圆                     

∴ 即：                  
将代入整理得：

∴，      ……………………8分
在上   ∴
又
∴
∴2
∴
∴
∴
∴
∴                 ……………………10分

∴
∴
                                   ……………………12分
考点：椭圆性质及直线与椭圆相交问题
点评：直线与椭圆相交时，常联立方程利用韦达定理求解关于弦长，中点弦及垂直夹角等问题；求椭圆离心率的题目需要转化出关于的方程或不等式