题目内容
若椭圆
的中心在原点，焦点在
轴上，短轴的一个端点与左右焦点
、
组成一个正三角形，焦点到椭圆上的点的最短距离为
.
(1)求椭圆的方程；
(2)过点作直线
与椭圆交于
、
两点，线段
的中点为
,求直线
的斜率
的取值范围.
(1)
(2)
且
解析试题分析：(1)设椭圆的方程为
由
所以，椭圆的方程为 ……1…5 分
(2)
、
，
当直线的斜率不存在时，的中点为，直线的斜率
；
当直线的斜率存在时，设其斜率为
，直线的方程为：
，……2
由12联立消去
并整理得：
设
，则
……10分
当
时，的中点为坐标原点，直线的斜率； ……11 分
当
时，
，
且 ……13 分
考点：椭圆方程性质及直线与椭圆的位置关系
点评：直线与椭圆相交的问题常联立方程，结合韦达定理求解，在求解过程中要注意分直线斜率是否存在两种情况分别讨论，再应用均值不等式求得斜率最值
练习册系列答案
相关题目
,
,动点
满足
，由点
轴作垂线段
，垂足为
，点
满足
，点
.
作直线
与曲线
,
两点，点
满足
（
为原点），求四边形
面积的最大值，并求此时的直线
：
，左、右两个焦点分别为
、
，上顶点
，
为正三角形且周长为6.
为坐标原点，
是直线
上的一个动点，求
的最小值，并求出此时点
＝1(a＞b＞0)的离心率为
，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点F1、F2为顶点的三角形的周长为4(
＋1)，一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设P为该双曲线上异于顶点的任一点，直线PF1和PF2与椭圆的交点分别为A、B和C、D. 
的左、右焦点分别为
，上顶点为
，离心率为
， 在
轴负半轴上有一点
，且
三点的圆 恰好与直线
相切，求椭圆C的方程；
作斜率为
的直线
与椭圆C交于
两点，在
，使得以
为邻边的平行四边形是菱形，如果存在，求出
的取值范围；如果不存在，说明理由．
；l2：
均相切．
上一点M，作圆C的一条切线ME，切点为E，且
的最小值为4，求此抛物线准线的方程．
，它的离心率为
，一个焦点和抛物线
的焦点重合,过直线
上一点
引椭圆
.
上的点
处的椭圆的切线方程是
. 求证:直线
恒过定点
；并出求定点
，使得
恒成立？(点
的离心率为
，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线
相切．
的方程；
的直线与椭圆
，设
为椭圆上一点，且满足
（其中
为坐标原点），求整数
的最大值．
的中心为坐标原点
，一个长轴端点为
，短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，若直线
与
轴交于点
，与椭圆
，且
。（14分）
的取值范围。