题目内容

20.已知等差数列{an}的前n项和为 Sn,若a1,a2 ,a4成等比数列,且S3=12.
(1)求{an}的通项公式;
(2)若数列{an}的公差d≠0,数列{cn}满足an+1 =log2(cn-an).求数列{cn}前n项和Tn

分析 (1)设等差数列{an}的公差为d,由于a1,a2 ,a4成等比数列,且S3=12.可得${a}_{2}^{2}={a}_{1}{a}_{4}$,$3{a}_{1}+\frac{3×2}{2}d$=12,解出即可.
(2)由数列{an}的公差d≠0,可得an=2n.由于数列{cn}满足an+1 =log2(cn-an).可得cn=2n+4n+1.利用等差数列与等比数列的前n项和公式即可得出.

解答 解:(1)设等差数列{an}的公差为d,
∵a1,a2 ,a4成等比数列,且S3=12.
∴${a}_{2}^{2}={a}_{1}{a}_{4}$,即$({a}_{1}+d)^{2}={a}_{1}({a}_{1}+3d)$,$3{a}_{1}+\frac{3×2}{2}d$=12,
解得a1=d=2或$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=4}\\{d=0}\end{array}\right.$.
∴an=2+2(n-1)=2n或an=4.
(2)∵数列{an}的公差d≠0,∴an=2n.
∵数列{cn}满足an+1 =log2(cn-an).
∴${c}_{n}-{a}_{n}={2}^{{a}_{n+1}}$,
∴cn=2n+22n+2=2n+4n+1
∴数列{cn}前n项和Tn=$\frac{n(2+2n)}{2}$+$\frac{16({4}^{n}-1)}{4-1}$
=n2+n+$\frac{{4}^{n+2}-16}{3}$.

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.

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