题目内容

10.在平面直角坐标系中,A(1,1),B(2,3),C(s,t),P(x,y),△ABC是等腰直角三角形,B为直角顶点.
(1)求点C(s,t);
(2)设点C(s,t)是第一象限的点,若$\overrightarrow{AP}$=$\overrightarrow{AB}$-m$\overrightarrow{AC}$,m∈R,则m为何值时,点P在第二象限?

分析 (1)$\overrightarrow{AB}$=(1,2),$\overrightarrow{BC}$=(s-2,t-3),由于△ABC是等腰直角三角形,B为直角顶点.可得$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BC}$=0,$|\overrightarrow{AB}|=|\overrightarrow{BC}|$,即$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{(s-2)^{2}+(t-3)^{2}}$,联立解出即可.
(2)利用向量坐标运算性质、点在第二象限的坐标特点即可得出.

解答 解:(1)$\overrightarrow{AB}$=(1,2),$\overrightarrow{BC}$=(s-2,t-3),
∵△ABC是等腰直角三角形,B为直角顶点.
∴$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BC}$=s-2+2(t-3)=0,$|\overrightarrow{AB}|=|\overrightarrow{BC}|$,即$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{(s-2)^{2}+(t-3)^{2}}$,
化简为s+2t-8=0,(s-2)2+(t-3)2=5,
联立解得$\left\{\begin{array}{l}{s=0}\\{t=4}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{s=4}\\{t=2}\end{array}\right.$.
∴C(0,4),或(4,2).
(2)∵点C(s,t)是第一象限的点,∴C(4,2).
设P(x,y),
∵$\overrightarrow{AP}$=$\overrightarrow{AB}$-m$\overrightarrow{AC}$,m∈R,
∴(x-1,y-1)=(1,2)-m(3,1)=(1-3m,2-m).
∴$\left\{\begin{array}{l}{x-1=1-3m}\\{y-1=2-m}\end{array}\right.$,
解得x=2-3m,y=3-m.
∵点P在第二象限,
∴$\left\{\begin{array}{l}{2-3m<0}\\{3-m>0}\end{array}\right.$,解得$\frac{2}{3}<m<3$.
∴m∈$(\frac{2}{3},3)$,点P在第二象限.

点评 本题考查了向量坐标运算性质、点在第二象限的坐标特点、向量垂直与数量积的关系、数量积运算性质,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.

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