题目内容
已知双曲线x2-y2=1的左、右顶点分别为A1、A2，动直线l：y=kx+m与圆x2+y2=1相切，且与双曲线左、右两支的交点分别为P1（x1，y1），P2（x2，y2）．（1）求k的取值范围，并求x2-x1的最小值；
（2）记直线P1A1的斜率为k1，直线P2A2的斜率为k2，那么k1•k2是定值吗？证明你的结论．
分析：（1）由l与圆相切，知m2=1+k2，由
，得（1-k2）x2-2mkx-（m2+1）=0，所以
(m2+1)=4(m2+1-k2)=8＞0由此能求出k的取值范围和x2-x1的最小值．
（2）由已知可得A1，A2的坐标分别为（-1，0），（1，0），k1=
，k2=
，k1•k2=
=
．由此能证明k1•k2是定值．
|
|
（2）由已知可得A1，A2的坐标分别为（-1，0），（1，0），k1=
| y1 |
| x1+1 |
| y2 |
| x2-1 |
| y1y2 |
| (x1+1)(x2-1) |
| (kx1+m)(kx2+m) |
| (x1+1)(x2-1) |
解答：
解：（1）∵l与圆相切，∴1=
∴m2=1+k2（2分）
由
，得（1-k2）x2-2mkx-（m2+1）=0，∴
(m2+1)=4(m2+1-k2)=8＞0，∴k2＜1，∴-1＜k＜1，故k的取值范围为（-1，1）．（5分）
由于x1+x2=
∴x2-x1=
=
=
，
∵0≤k2＜1∴当k2=0时，x2-x1取最小值2
．（7分）
（2）由已知可得A1，A2的坐标分别为（-1，0），（1，0），
∴k1=
，k2=
，∴k1•k2=
=
（10分）
=
=
=
=
，
由m2-k2=1，∴k1•k2=
=-(3+2
)为定值．（14分）
解：（1）∵l与圆相切，∴1=| |m| | ||
|
由
|
|
由于x1+x2=
| 2mk |
| 1-k2 |
| (x1+x2)2-4x1x2 |
2
| ||
| |1-k2| |
2
| ||
| 1-k2 |
∵0≤k2＜1∴当k2=0时，x2-x1取最小值2
| 2 |
（2）由已知可得A1，A2的坐标分别为（-1，0），（1，0），
∴k1=
| y1 |
| x1+1 |
| y2 |
| x2-1 |
| y1y2 |
| (x1+1)(x2-1) |
| (kx1+m)(kx2+m) |
| (x1+1)(x2-1) |
=
| k2x1x2+mk(x1+x2)+m2 |
| x1x2+(x2-x1)-1 |
k2•
| ||||||
|
=
| m2k2+k2-2m2k2+m2k2-m2 | ||
m2+1-2
|
| k2-m2 | ||
m2-k2+2-2
|
由m2-k2=1，∴k1•k2=
| -1 | ||
3-2
|
| 2 |
点评：本题主要考查椭圆标准方程，简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，双曲线的简单性质等基础知识．考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．
练习册系列答案
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| A、tanα+tanβ+tanγ=0 | B、tanα+tanβ-tanγ=0 | C、tanα+tanβ+2tanγ=0 | D、tanα+tanβ-2tanγ=0 |