题目内容
【题目】如图，椭圆
：
与圆
：
相切，并且椭圆上动点与圆上动点间距离最大值为
.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点
作两条互相垂直的直线
，
，与交于
两点，与圆的另一交点为
，求
面积的最大值，并求取得最大值时直线的方程.
【答案】（1）
；（2）面积的最大值为
，此时直线
的方程为
.
【解析】
（1）由题意可得b＝1，a﹣1
，即可得到椭圆的方程；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），根据l2⊥l1，可设直线l1，l2的方程，分别与椭圆、圆的方程联立即可得可得出|AB|、|MN|，即可得到三角形ABC的面积，利用基本不等式的性质即可得出其最大值．
（1）椭圆E与圆O：x2+y2＝1相切，知b2＝1；
又椭圆E上动点与圆O上动点间距离最大值为
，即椭圆中心O到椭圆最远距离为，
得椭圆长半轴长
，即
；
所以椭圆E的方程：
（2）①当l1与x轴重合时，l2与圆相切，不合题意．
②当l1⊥x轴时，M（﹣1，0），l1：x＝1，
，此时
．…（6分）
③当l1的斜率存在且不为0时，设l1：x＝my+1，m≠0，则
，
设A（x1，y1），B（x2，y2），由
得，（2m2+3）y2+4my﹣1＝0，
所以
，
所以
．
由
得，
，解得
，
所以
，
所以
， 因为
，
所以
，
当且仅当
时取等号．所以
（
）
综上，△ABM面积的最大值为，此时直线l1的方程为
． 
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【题目】某水果种植基地引进一种新水果品种，经研究发现该水果每株的产量
（单位：
）和与它“相近”的株数
具有线性相关关系（两株作物“相近”是指它们的直线距离不超过
），并分别记录了相近株数为0，1，2，3，4时每株产量的相关数据如下：
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| 15 | 12 | 11 | 9 | 8 |
（1）求出该种水果每株的产量关于它“相近”株数的回归方程；
（2）该种植基地在如图所示的长方形地块的每个格点（横纵直线的交点）处都种了一株该种水果，其中每个小正方形的面积都为
，现从所种的该水果中随机选取一株，试根据（1）中的回归方程，预测它的产量的平均数.
附：回归方程
中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：
，
.
