Question

6．在当今社会，随科技的进步，网校教学越来越受到广大学生的喜爱，它已经成为学生们课外学习的一种趋势，假设某网校的套题每日的销售量y（单位：千套）与销售价格x（单位：元/套）满足的关系式y=$\frac{a}{x-2}$+4（x-6）²，其中2＜x＜6，a为常数．已知销售价格为4元/套时，每日可售出套题21千套．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）假设网校的员工工资、办公等所有开销折合为每套题2元（只考虑销售出的套数），试确定销售价格x的值，使网校每日销售套题所获得的利润最大．（保留1位小数）

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意可得$\frac{a}{2}$+16=21，从而解得；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知套题每日的销售量y=$\frac{10}{x-2}$+4（x-6）²，从而可得每日销售套题所获得的利润f（x）=（x-2）[$\frac{10}{x-2}$+4（x-6）²]=4x³-56x²+240x-278（2＜x＜6）；求导f′（x）=4（3x-10）（x-6），从而确定函数的单调性与最值即可．

解答 解：（Ⅰ）∵x=4时，y=21，
∴$\frac{a}{2}$+16=21，
解得，a=10；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
套题每日的销售量y=$\frac{10}{x-2}$+4（x-6）²，
所以每日销售套题所获得的利润
f（x）=（x-2）[$\frac{10}{x-2}$+4（x-6）²]
=10+4（x-6）²（x-2）
=4x³-56x²+240x-278（2＜x＜6）；
则f′（x）=4（3x-10）（x-6），
故f（x）在（2，$\frac{10}{3}$）上单调递增，在（$\frac{10}{3}$，6）上单调递减；
∴x=$\frac{10}{3}$是函数f（x）在（2，6）内的极大值点，也是最大值点；
∴当x≈3.3时，函数f（x）取得最大值．

点评 本题考查了函数在实际问题中的应用及导数的综合应用，属于中档题．