题目内容
已知椭圆C：
＝1(a＞b＞0)的离心率为
，其左、右焦点分别是F1、F2，过点F1的直线l交椭圆C于E、G两点，且△EGF2的周长为4
.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若过点M(2,0)的直线与椭圆C相交于两点A、B，设P为椭圆上一点，且满足
＋
＝t
(O为坐标原点)，当|
－
|＜
时，求实数t的取值范围．
（1）
＋y2＝1.（2）
∪
【解析】(1)由题意知椭圆的离心率e＝
＝
，∴e2＝
＝
＝
，
即a2＝2b2.
又△EGF2的周长为4
，即4a＝4
，∴a2＝2，b2＝1.
∴椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)由题意知直线AB的斜率存在，即t≠0.
设直线AB的方程为y＝k(x－2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x，y)，由
，
得(1＋2k2)x2－8k2x＋8k2－2＝0.
由Δ＝64k4－4(2k2＋1)(8k2－2)＞0，得k2＜
.x1＋x2＝
，x1x2＝
，
∵
＋
＝t
，
∴(x1＋x2，y1＋y2)＝t(x，y)，x＝
＝
，y＝
＝
[k(x1＋x2)－4k]＝
.
∵点P在椭圆C上，
∴
＋2
＝2，
∴16k2＝t2(1＋2k2)．
∵|
－
|＜
，∴
|x1－x2|＜，
∴(1＋k2)[(x1＋x2)2－4x1x2]＜
，
∴(1＋k2) 
＜
，
∴(4k2－1)(14k2＋13)＞0，
∴k2＞
.∴
＜k2＜
.
∵16k2＝t2(1＋2k2)，∴t2＝
＝8－
，
又
＜1＋2k2＜2，∴
＜t2＝8－＜4，
∴－2＜t＜－
或
＜t＜2，
∴实数t的取值范围为∪
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