Question

12．非负实数x满足$\left\{\begin{array}{l}{x+2y-2≤0}\\{x-y-1≤0}\end{array}\right.$，则z=3x+y的最大值为$\frac{13}{3}$．

Answer 1

分析 由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．

解答 解：由约束条件$\left\{\begin{array}{l}{x+2y-2≤0}\\{x-y-1≤0}\\{x≥0}\end{array}\right.$作出可行域如图，

联立$\left\{\begin{array}{l}{x-y-1=0}\\{x+2y-2=0}\end{array}\right.$，解得A（$\frac{4}{3}，\frac{1}{3}$），
化目标函数z=3x+y为y=-3x+z，
由图可知，当直线y=-3x+z过A（$\frac{4}{3}，\frac{1}{3}$）时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为3×$\frac{4}{3}+\frac{1}{3}$=$\frac{13}{3}$．
故答案为：$\frac{13}{3}$．

点评 本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．