题目内容
17.已知函数f(x)=$\frac{lnx}{x}$,g(x)=ex+m,其中e=2.718….(1)求f(x)在x=1处的切线方程;
(2)当m≥-2时,证明:f(x)<g(x).
分析 (1)求得f(x)的导数,求得切线的斜率和切点,可得切线的方程;
(2)讨论0<x≤1,由f(x)≤0,g(x)>0,显然成立;x>1时,求得f(x)的最大值和g(x)的最小值,即可判断.
解答 解:(1)函数f(x)=$\frac{lnx}{x}$的导数为f′(x)=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$,
则f(x)在x=1处的切线斜率为1,切点为(1,0),
则f(x)在x=1处的切线方程为y=x-1;
(2)由函数f(x)=$\frac{lnx}{x}$的导数为f′(x)=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$,
当0<x≤1时,f(x)<0,g(x)=ex+m>0,f(x)<g(x)成立;
当1<x<e时,f′(x)>0,f(x)递增;当x>e时,f′(x)<0,f(x)递减.
即有x=e处取得极大值,且为最大值$\frac{1}{e}$;
而x>1,m≥-2时,g(x)=ex+m>$\frac{1}{e}$,即有f(x)<g(x).
综上可得,当m≥-2时,f(x)<g(x).
点评 本题考查导数的运用:求切线的方程,考查不等式恒成立问题的解法,注意转化为求最值,同时考查分类讨论的思想方法,属于中档题.
练习册系列答案
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