Question

【题目】若函数g（x）满足g（g（x））=n（n∈N）有n+3个解，则称函数g（x）为“复合n+3解”函数．已知函数f（x）= （其中e是自然对数的底数，e=2.71828…，k∈R），且函数f（x）为“复合5解”函数，则k的取值范围是（ ）
A.（﹣∞，0）
B.（﹣e，e）
C.（﹣1，1）
D.（0，+∞）

Answer 1

【答案】D
【解析】解：函数f（x）为“复合5解“， ∴f（f（x））=2，有5个解，
设t=f（x），
∴f（t）=2，
∵当x＞0时，f（x）= ，
∴f（x）= ，
当0＜x＜1时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，
当x＞1时，f′（x）＞0，
函数f（x）单调递增，
∴f（x）min=f（1）=1，
∴t≥1，
∴f（t）=2在[1，+∞）有2个解，
当x≤0时，f（x）=kx+3，函数f（x）恒过点（0，3），
当k≤0时，f（x）≥f（0）=3，
∴t≥3
∵f（3）= ＞2，
∴f（t）=2在[3，+∞）上无解，
当k＞0时，f（x）≤f（0）=3，
∴f（t）=2，在（0，3]上有2个解，在（∞，0]上有1个解，
综上所述f（f（x））=2在k＞0时，有5个解，
故选：D