题目内容
【题目】已知函数,
.
(Ⅰ)讨论的单调性;
(Ⅱ)当时,令
,其导函数为
,设
是函数
的两个零点,判断
是否为
的零点?并说明理由.
【答案】(Ⅰ)当时,
在
上单调递增;当
时,
在
单调递增,在
上单调递减. (Ⅱ)不是,理由见解析
【解析】
(Ⅰ)对函数求导,对
分
分类讨论,得出导函数
的正负,从而得函数
的单调性;
(Ⅱ)当时,得
. 由
,
是函数
的两个零点,不妨设
,可得
,两式相减可得:
, 再
.
则. 设
,
,令
,
. 研究函数
在
上是増 函数,得
,可得证.
(Ⅰ)依题意知函数的定义域为
,且
,
(1)当时,
,所以
在
上单调递增.
(2)当时,由
得:
,
则当时
;当
时
.
所以在
单调递增,在
上单调递减.
综上,当时,
在
上单调递增;
当 时,
在
单调递增,在
上单调递减.
(Ⅱ)不是导函数
的零点. 证明如下:
当时,
.
∵,
是函数
的两个零点,不妨设
,
,两式相减得:
即: , 又
.
则.
设,∵
,∴
,
令,
.
又,∴
,∴
在
上是増 函数,
则,即当
时,
,从而
,/span>
又所以
,
故,所以
不是导函数
的零点.
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