题目内容
【题目】已知函数.
(1)证明:当,
时,
;
(2)若关于的方程
有两个不相等的实根,求
的取值范围.
【答案】(1)证明见解析;(2) .
【解析】试题分析:
(1)函数的解析式,
,
,据此讨论可得
在定义域内单调递增,则
;
(2)否则函数,原问题等价于
有两个零点,且
,据此分类讨论:
若,
单调递减,
至多有一个零点,
若,
在
上单调递减,在
上单调递增,
则,
则时,
在
上必有一个零点,
结合(1)的结论在
上必有一个零点,
综上, 时,关于
的方程
有两个不相等的实根.
试题解析:
(1) ,
,
,
∵,∴
,∴
在定义域内单调递增,∴
,
∴在定义域内单调递增,∴
;
(2)设,即
有两个零点,
,
若,
,得
单调递减,∴
至多有一个零点,
若,
,得
,
,得
,
∴在
上单调递减,在
上单调递增,
故,即
,∴
,此时
,即
,
当时,
,∴
在
上必有一个零点,
由(1)知当时,
,即
,
而,得
,∴
,故
在
上必有一个零点,
综上, 时,关于
的方程
有两个不相等的实根.
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