Question

【题目】在如图所示的圆台中，AC是下底面圆O的直径，EF是上底面圆O′的直径，FB是圆台的一条母线．
（I）已知G，H分别为EC，FB的中点，求证：GH∥平面ABC；
（Ⅱ）已知EF=FB= AC=2 ，AB=BC，求二面角F﹣BC﹣A的余弦值．

Answer 1

【答案】证明：（Ⅰ）取FC中点Q，连结GQ、QH，∵G、H为EC、FB的中点，
∴GQ ，QH ，
又∵EF∥BO，∴GQ∥BO，
∴平面GQH∥平面ABC，
∵GH面GQH，∴GH∥平面ABC．
解：（Ⅱ）∵AB=BC，∴BO⊥AC，
又∵OO′⊥面ABC，
∴以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OO′为z轴，建立空间直角坐标系，
则A（ ，0，0），C（﹣2 ，0，0），B（0，2 ，0），O′（0，0，3），F（0， ，3），
=（﹣2 ，﹣ ，﹣3）， =（2 ，2 ，0），
由题意可知面ABC的法向量为 =（0，0，3），
设 =（x0 ， y0 ， z0）为面FCB的法向量，
则 ，即 ，
取x0=1，则 =（1，﹣1，﹣ ），
∴cos＜ ， ＞= =﹣ ．
∵二面角F﹣BC﹣A的平面角是锐角，
∴二面角F﹣BC﹣A的余弦值为 ．

【解析】（Ⅰ）取FC中点Q，连结GQ、QH，推导出平面GQH∥平面ABC，由此能证明GH∥平面ABC．（Ⅱ）由AB=BC，知BO⊥AC，以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OO′为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角F﹣BC﹣A的余弦值．
【考点精析】解答此题的关键在于理解直线与平面平行的判定的相关知识，掌握平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行．