题目内容
【题目】一条宽为的两平行河岸有村庄
和供电站
,村庄
与
的直线距离都是
,
与河岸垂直,垂足为
现要修建电缆,从供电站
向村庄
供电.修建地下电缆、水下电缆的费用分别是
万元
、
万元
.
(1) 如图①,已知村庄与
原来铺设有电缆
,现先从
处修建最短水下电缆到达对岸后后,再修建地下电缆接入原电缆供电,试求该方案总施工费用的最小值;
(2) 如图②,点在线段
上,且铺设电缆的线路为
.若
,试用
表示出总施工费用
(万元)的解析式,并求
的最小值.
【答案】(1);(2)
.
【解析】试题分析:(1)由已知可得为等边三角形,
水下电缆的最短线路为
,过
作
于
,可知地下电缆的最短线路为
,由此能求出该方案的总费用;(2)因为
所以
.可得
,利用导数研究函数的单调性,从而能求出施工总费用的最小值.
试题解析:(1)由已知可得为等边三角形.
因为,所以水下电缆的最短线路为
.
过作
于
,可知地下电缆的最短线路为
.
又,
故该方案的总费用为
(万元)
(2)因为
所以.则
,
令则
,
因为,所以
,
记
当,即
时,
当,即
时,
,
所以,从而
,
此时,
因此施工总费用的最小值为()万元,其中
.
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