Question

【题目】如图，设椭圆的中心为原点，长轴在轴上，上顶点为，左，右焦点分别为，线段的中点分别为，且 是面积为4的直角三角形.

（1）求该椭圆的离心率和标准方程；

（2）过做直线交椭圆于两点，使，求直线的方程.

Answer 1

【答案】(1),;(2)和.

【解析】试题分析：（1）设所求椭圆的标准方程为，右焦点为F2（c，0）．已知△AB1B2是直角三角形，又|AB1|=|AB2|，故∠B1AB2=90°，可得c=2b，在Rt△AB1B2中，，从而a2=b2+c2=20．即可得到椭圆的方程．（2）由（1）得B1（﹣2，0），可设直线l的方程为x=my﹣2，代入椭圆的方程，得到根与系数的关系，利用PB2⊥QB2，，向量坐标化，得到关于m的方程，即可得到m．

(1)设所求椭圆的标准方程为，右焦点为.

因是直角三角形，又,故为直角，因此,得.

又得，故，所以离心率.

在中，，故

由题设条件，得，从而.

因此所求椭圆的标准方程为.

（2）由（1）知，由题意知直线的倾斜角不为0，故可设直线的方程为，代入椭圆方程得，

设，则

,

又，所以

由,得,即，解得，

所以直线方程分别为和.