题目内容
【题目】如图,在平面直角坐标系中,已知椭圆
:
的离心率为
,且左焦点F1到左准线的距离为4.
(1)求椭圆的方程;
(2)若与原点距离为1的直线l1:与椭圆
相交于A,B两点,直线l2与l1平行,且与椭圆
相切于点M(O,M位于直线l1的两侧).记△MAB,△OAB的面积分别为S1,S2,若
,求实数
的取值范围.
【答案】(1);(2)
.
【解析】
(1)根据椭圆的几何性质得到关系,求解得到标准方程;(2)设
,根据
可知,
,又
与原点距离为
,即
,可把
化简为:
,根据
与椭圆相切,联立可得
,由此代入化简可得
的范围,再进一步求解出
的范围.
(1)因为椭圆的离心率为
,所以
又椭圆的左焦点
到左准线的距离为
所以
所以,
,
所以椭圆的方程为
(2)因为原点与直线的距离为
所以,即
设直线
由得
因为直线与椭圆
相切
所以
整理得
因为直线与直线
之间的距离
所以,
所以
又
因为,所以
又位于直线
的两侧,所以
同号,所以
所以
故实数的取值范围为
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