题目内容
如图,在直三棱柱(即侧棱与底面垂直的三棱柱)中,
(I)若为的中点,求证:平面平面;
(II)若为线段上一点,且二面角的大小为,试确定的位置.
(I)若为的中点,求证:平面平面;
(II)若为线段上一点,且二面角的大小为,试确定的位置.
(I)略;(II).
试题分析:(I)可以转为证线面垂直或利用空间向量证明面面垂直;(II)可利用的面积求也可利用空间向量求.
试题解析:方法一:(I)证明:∵,∴.
又由直三棱柱的性质知,
∴平面,∴, ①
由为的中点,可知,
∴,即, ②
又 ③
由①②③可知平面,
又平面,故平面平面.
(II)解:由(I)可知平面,在平面内过作,交或其延长线于,连接,∴为二面角的平面角,
∴.由知,,设,则.
∵的面积为,∴.
解得,即.
方法二:(I)证明:如图,以为坐标原点,所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系,则即
由,得;
同理可证,得.
又平面.
又平面,∴平面平面.
(II)解:设,则点坐标为
设平面的一个法向量为.
则令.
得,
又平面的一个法向量为,
则由,得,
即,故. ……
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