题目内容
【题目】已知平面内动点
与点
，
连线的斜率之积为
.
（1）求动点的轨迹
的方程；
（2）过点
的直线与曲线交于，
两点，直线
，
与直线
分别交于
，
两点.求证：以
为直径的圆恒过定点.
【答案】（1）
；（2）见解析
【解析】
(1) 设点
的坐标
，再根据
列式求解，同时注意定义域即可；
(2)联立
与椭圆的方程，设
，
，得出韦达定理，进而求得
的坐标表达式，进而求得
的长及
的中点，写出以为直径的圆的方程，即可分析出所过定点.
（1）设点的坐标为
，则由，可得
整理得，即动点的轨迹
的方程
（2）当的斜率存在时，设的方程为
，与曲线的方程联立，消去
得
设，，则
，
直线
的方程为
，令
，得
，即
，
同理
，
∴
∴
线段中点的纵坐标为
故以为直径的圆的方程为：
令
得:
，解得
或
此时以为直径的圆过点
和
当
轴时，
，
，
，
则以为直径的圆的方程为
，也过点
，
所以，以为直径的圆恒过点
和
.
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