Question

【题目】在平面直角坐标系中，点，直线，设圆的半径为1，圆心在上．

（1）若圆心也在直线上，过点作圆的切线，求切线方程；

（2）若圆上存在点，使，求圆心的横坐标的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）或；（2）．

【解析】

（1）先求出圆的标准方程，再根据过一定点求圆的切线问题，先判断点在圆外，再分切线斜率存在和不存在两种情况，再利用圆心到切线的距离为半径，求出切线方程.

（2）根据，求出点的轨迹方程为圆，则为圆和所求轨迹方程圆的交点，再根据两圆相交的位置关系求出圆心的横坐标的取值范围.

解析：联立，解得，得圆心，又圆的半径为1，

所以圆的方程为．

因为，所以点在圆外面．

所以过点的圆的切线一定有两条，

设所求切线的斜率为，则切线方程为，．

圆心到切线的距离为，

由切线性质知，，解得．

所以切线的方程为，得．

又当切线的斜率不存在时，切线方程为，经验证符合题意，

所以所求切线方程为或．

（2）设，由得，

平方得：．

整理得：．

即满足的点的轨迹为一圆，圆心为，半径为2．

又点在圆上，所以只需两圆有交点即可，即．

由题知，圆心在直线上，所以可设，代入上式可得，

整理得，解得．

综上所述，实数的取值范围是．