Question

9．在△ABC中，∠B=30°，∠A=90°，M是边BC的中点，现将△ABM沿AM旋转，当△ABM转到与△ACM所在面垂直时，CB与平面AMC所成的角的正弦值为$\frac{\sqrt{30}}{10}$；异面直线CB与AM所成角的余弦值是$\frac{\sqrt{10}}{5}$．

Answer 1

分析 （1）利用好折叠前后图形的关系，作BE垂直AMd 延长线与E点，连接EC，作OC⊥AM
计算线段长度，转化为三角Rt△BEC中求解．
（2）建立空间坐标系转化为向量$\overrightarrow{BC}$与$\overrightarrow{AM}$夹角求解，利用向量的数量积．

解答 解：（1）∵在△ABC中，∠B=30°，∠A=90°，M是边BC的中点，
∴作BE垂直AM延长线与E点，连接EC，作OC⊥AM，
设AC=1，则AB=$\sqrt{3}$，MA=MB=MC=1，
根据平面几何知识得出；BE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，ME=$\frac{1}{2}$，
EC=$\sqrt{1+\frac{1}{4}-2×1×\frac{1}{2}×（-\frac{1}{2}）}$=$\frac{\sqrt{7}}{2}$，
OC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，OA=OM=$\frac{1}{2}$，
∵将△ABM沿AM旋转，当△ABM转到与△ACM所在面垂直，
∴BE⊥面AEC，
CB与平面AMC所成的角θ=∠BCE，
∴Rt△BEC中，BC=$\frac{\sqrt{10}}{2}$，OE=1，
sinθ=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{10}}{2}}$=$\frac{\sqrt{30}}{10}$；

（2）建立空间坐标系如图所示，

∴B（0，0，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），E（0，0，0），C（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1，0），
$\overrightarrow{BC}$=（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$），$\overrightarrow{AM}$=（0，1，0）
∵$\overrightarrow{BC}$$•\overrightarrow{AM}$=1，|$\overrightarrow{BC}$|=$\sqrt{\frac{3}{4}+\frac{3}{4}+1}$=$\frac{\sqrt{10}}{2}$，|$\overrightarrow{AM}$|=1，
∴cos＜$\overrightarrow{BC}$，$\overrightarrow{AM}$＞=$\frac{1}{\frac{\sqrt{10}}{2}×1}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$，
∴异面直线CB与AM所成角的余弦值是$\frac{\sqrt{10}}{5}$
故答案为：$\frac{\sqrt{30}}{10}$；$\frac{\sqrt{10}}{5}$．

点评 本题考查了折叠问题，求解夹角，充分利好平面图形与立体图形的关系，考查了学生的运算能力，思维能力．