题目内容

19．如图，E为正方体的棱AA1中点，F为棱AB上一点，且∠C1EF=90°，则|AF|：|FB|=1：3．

分析 设出正方体的棱长，求出C1E，利用∠C1EF=90°，通过C1F求出x的值，即可得到结果

解答 解：设正方体的棱长为2，由题意可知C1E=$\sqrt{{1}^{2}+（2\sqrt{2}）^{2}}$=3，
∠C1EF=90°，所以设AF=x，12+x2+C1E2=22+22+（2-x）2，
解得：x=$\frac{1}{2}$，所以AF：FB=$\frac{1}{2}$：（2-$\frac{1}{2}$）=1：3；
故答案为：1：3．

点评 本题考查正方体的性质运用以及线段的长度计算，考查直角三角形的利用，考查计算能力．

练习册系列答案
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4．函数y=lg（2sinx-$\sqrt{2}$）-$\sqrt{1-2cosx}$的定义域为[$\frac{π}{6}$+2kπ，2kπ+$\frac{3π}{4}$），k∈Z．
10．如图，ABCD为正方形，BDEF为矩形，AB=2BF，DE⊥平面ABCD，G为EF中点．
（Ⅰ）求证：平面ABG⊥平面CDG；
（Ⅱ）求二面角C-FG-B的余弦值．
7．设x1，x2是函数f（x）=lnx+$\frac{1}{2}$x2-（a+$\frac{4}{a}$）x+1的两个极值点，且x1＜x2，a＞0．
（Ⅰ）求证：x1x2为定值；
（Ⅱ）求f（x1）+f（x2）的取值范围；
（Ⅲ）求f（x2）-f（x1）的最大值．
14．如图所示，椭圆C：x2+$\frac{{y}^{2}}{m}$=1（0＜m＜1）的左顶点为A，M是椭圆C上异于点A的任意一点，点P与点A关于点M对称．
（Ⅰ）若点P的坐标为（$\frac{7}{5}$，$\frac{4\sqrt{3}}{5}$），求m的值；
（Ⅱ）若椭圆C上存在点M，使得OP⊥OM，求实数m的取值范围．
4．正方体ABCD-A1B1C1D1的面BCC1B1内有一点M，满足M到点B的距离等于点M到面CDD1C1的距离，则点M的轨迹是（　　）
A．圆的一部分B．椭圆的一部分C．双曲线的一部分D．抛物线的一部分
11．如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中（底面为正三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱叫正三棱柱），各棱长都是4，D是BC的中点．
（Ⅰ）求证：A1C∥平面AB1D；
（Ⅱ）求直线A1C与平面BCC1B1所成角的正弦值；
（Ⅲ）证明在棱CC1上存在一点F，使得DF⊥AC，并求AF的长．
8．将函数f1（x）=sinx与函数f2（x）=cosx线性组构成的函数f（x）=Af1（x）+Bf2（x）（A，B是常数，x∈R）图象称为（A，B）曲线．
（1）若（A，B）曲线经过点P（$\frac{π}{3}$，0），Q（π，-2$\sqrt{3}$），求A、B的值；
（2）若（A，B）曲线与射线y=2（x≥0）的所有交点的横坐标依次组成一个等差数列{an}，且a1=$\frac{π}{3}$，求数列{an}的通项以及常数A、B的值；
（3）在（1）的条件下，求证：对x∈（0，+∞），恒有f（x）＞-x-$\frac{2π}{3}$．
9．在△ABC中，∠B=30°，∠A=90°，M是边BC的中点，现将△ABM沿AM旋转，当△ABM转到与△ACM所在面垂直时，CB与平面AMC所成的角的正弦值为$\frac{\sqrt{30}}{10}$；异面直线CB与AM所成角的余弦值是$\frac{\sqrt{10}}{5}$．

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