Question

【题目】.已知点，，动点满足条件.记动点的轨迹为.

（1）求的方程；

（2）若是上的不同两点，是坐标原点，求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）根据双曲线的定义可知轨迹为双曲线的右支，从而可得轨迹方程；（2）当直线斜率不存在时，可求得；当直线斜率存在时，假设直线方程，代入可整理得到一元二次方程；根据有两个正实根可构造出不等式组，求得斜率；将利用坐标运算表示为符合韦达定理的形式，代入整理后，结合可求得；综合两种情况可得所求最小值.

（1）

由双曲线定义可知：点的轨迹是以为焦点的双曲线的右支

，，

的方程为：

（2）①当直线斜率不存在时，设直线方程为：

此时，

②当直线斜率存在时，设直线方程为：

代入双曲线方程可得：

可知上式有两个不等的正实数根

解得：

由得：

综上所述，的最小值为