题目内容
在平面直角坐标系xOy中，经过点(0，
)且斜率为k的直线l与椭圆
＋y2＝1有两个不同的交点P和Q.
(1)求k的取值范围；
(2)设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A，B，是否存在常数k，使得向量
＋
与
共线？如果存在，求k的值；如果不存在，请说明理由．
)且斜率为k的直线l与椭圆＋y2＝1有两个不同的交点P和Q.(1)求k的取值范围；
(2)设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A，B，是否存在常数k，使得向量
＋与共线？如果存在，求k的值；如果不存在，请说明理由．(1)
∪
(2)不存在，理由见解析
∪ (2)不存在，理由见解析解：(1)由已知条件知直线l的方程为
y＝kx＋，
代入椭圆方程得＋(kx＋)2＝1.
整理得
x2＋2kx＋1＝0.①
直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于Δ＝8k2－4＝4k2－2>0，
解得k<－
或k>，
即k的取值范围为∪.
(2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
则
＋
＝(x1＋x2，y1＋y2)，
由方程①得x1＋x2＝－
.②
又y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2＝
，③
而A(，0)，B(0,1)，
＝(－，1)，
所以＋与共线等价于x1＋x2＝－ (y1＋y2)．
将②③代入上式，解得k＝.
由(1)知k<－或k>，故没有符合题意的常数k.
y＝kx＋
，代入椭圆方程得
＋(kx＋)2＝1.整理得
x2＋2kx＋1＝0.①直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于Δ＝8k2－4
＝4k2－2>0，解得k<－
或k>，即k的取值范围为
∪.(2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
则
＋＝(x1＋x2，y1＋y2)，由方程①得x1＋x2＝－
.②又y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2
＝，③而A(
，0)，B(0,1)，＝(－，1)，所以
＋与共线等价于x1＋x2＝－ (y1＋y2)．将②③代入上式，解得k＝
.由(1)知k<－
或k>，故没有符合题意的常数k.
练习册系列答案
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的抛物线
的焦点
与椭圆
的右焦点重合
在第一和第四象限的交点分别为
.
的正三角形，求抛物线
，求椭圆
；
为椭圆
、
分别与
轴交于点
和
，证明：
．
表示双曲线，那么下列椭圆中，与这个双曲线共焦点的是（ ）
＝1和椭圆
＝1(a＞0，m＞b＞0)的离心率互为倒数，那么以a，b，m为边长的三角形是( )
＋
＝1共焦点且过点(1，
)的双曲线的标准方程为( )
＝1
－
＝1
的焦点与顶点，若双曲线的离心率为2，则椭圆离心率为________
＋
＝1
＋
＝1
＝1
＝1
是椭圆
上一动点，
是椭圆的两个焦点，则
的最大值为 .