题目内容
【题目】过椭圆 
=1的右焦点F作斜率k=﹣1的直线交椭圆于A，B两点，且 
共线．
（1）求椭圆的离心率；
（2）当三角形AOB的面积S△AOB= 
时，求椭圆的方程．
【答案】
（1）解：设AB：y=﹣x+c，直线AB交椭圆于两点，A（x1，y1），B（x2，y2），
，b2x2+a2（﹣x+c）2=a2b2，
（b2+a2）x2﹣2a2cx+a2c2﹣a2b2=0，
， 
， 
=（x1+x2，y1+y2），与 
= 
共线，
可得3（y1+y2）﹣（x1+x2）=0，3（﹣x1+c﹣x2+c）﹣（x1+x2）=0 
（2）解：由a2=3b2，可设椭圆的方程为： 
，c2=3b2﹣b2=2b2， 
，
AB：y=﹣x+ 
b， 
，可得： 
，
即 
，
∴ 
， 
，
AB的距离为：|AB|= 
= 
= 
，
O到AB距离 
．
，
椭圆方程为 
【解析】（1）设AB：y=﹣x+c，A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理，通过 
共线，即可求解椭圆的离心率．（2）利用第一问的结果a2=3b2，设椭圆的方程为： 
，AB：y=﹣x+ 
b，联立方程组，通过韦达定理求解|AB|，O到AB距离，通过三角形的面积，即可求解椭圆方程．
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