题目内容
【题目】如图,四边形中,
,
,
,
,
、
分别在
、
上,
,现将四边形
沿
折起,使平面
平面
.
()若
,是否存在折叠后的线段
上存在一点
,且
,使得
平面
?若存在,求出
的值;若不存在,说明理由.
()求三棱锥
的体积的最大值,并求此时点
到平面
的距离.
【答案】(1)答案见解析;(2)答案见解析.
【解析】试题分析:
(1)存在,使得
平面
,此时
,即
,利用几何关系可知四边形
为平行四边形,则
,利用线面平行的判断定理可知
平面
成立.
(2)由题意可得三棱锥的体积
,由均值不等式的结论可知
时,三棱锥的体积
有最大值,最大值为
.
建立空间直角坐标系,则,平面
的法向量为
,故点
到平面
的距离
.
试题解析:
()存在
,使得
平面
,此时
.
证明:当,此时
,
过作
,与
交
,则
,
又,故
,
∵,
,
∴,且
,故四边形
为平行四边形,
∴,
∵平面
,
平面
,
∴平面
成立.
()∵平面
平面
,
平面
,
,
∴平面
,
∵,
∴,
,
,
故三棱锥的体积
,
∴时,三棱锥的体积
有最大值,最大值为
.
建立如图所示的空间直角坐标系,则,
,
,
.
,
,
.
设平面的法向量为
,则
,
∴,取
,则
,
,
∴.
∴点到平面
的距离
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
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