Question

6．已知集合A={x|-x²+3x+10≥0}，B={x|k+1≤x≤2k-1}．
（Ⅰ）当A∩B=B时，求k的取值范围．
（Ⅱ）当A∩B=∅时，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）把集合A、B化简，借助于子集概念得到两集合端点值的关系，求解不等式得到k的范围
（Ⅱ）在（Ⅰ）化简后的基础上，由两集合的交集是空集得到两集合端点值的关系，从而求出k的范围；

解答 解：（Ⅰ）A={x|-x²+3x+10≥0}={x|-2≤x≤5]，B={x|k+1≤x≤2k-1}．
∵A∩B=B，
∴B⊆A，
当B=∅，即k+1＞2k-1，解得k＜2，
当B≠∅，则$\left\{\begin{array}{l}{k+1≥-2}\\{2k-1≤5}\\{k+1≤2k-1}\end{array}\right.$或k+1＞2k-1，解得2≤k≤3，
综上所述k的范围为（-∞．3]；
（Ⅱ）当A∩B=∅时，
当B=∅，即k+1＞2k-1，解得k＜2，
当B≠∅，$\left\{\begin{array}{l}{k+1≤2k-1}\\{k+1＞5}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{2k-1＜-2}\\{k+1≤2k-1}\end{array}\right.$，
解得k＞4，
综上所述k的取值范围为（-∞，2）∪（4，+∞）

点评 本题考查了交集及其运算，考查了不等式的解法以及分类讨论思想，是中档题．