Question

15．圆C的半径为$\sqrt{13}$，且与直线2x+3y-10=0切于点P（2，2）．
（1）求圆C的方程；
（2）若原点不在圆C的内部，且圆x²+y²=m与圆C相交，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）设圆心坐标为（x，y），利用半径为$\sqrt{13}$，且与直线2x+3y-10=0切于点P（2，2），建立方程组，求出圆心坐标，即可求得圆的方程．
（2）原点不在圆C的内部，则圆的方程为（x-5）²+（y-4）²=13，圆x²+y²=m与圆C相交，建立不等式，即可求实数m的取值范围．

解答 解：（1）设圆心坐标为（x，y），则$\left\{\begin{array}{l}{\frac{y-2}{x-2}•（-\frac{2}{3}）=-1}\\{（x-2）^{2}+（y-2）^{2}=13}\end{array}\right.$，
∴x=0，y=-1或x=5，y=4，
∴圆的方程为x²+（y+1）²=13或（x-5）²+（y-4）²=13．
（2）原点不在圆C的内部，则圆的方程为（x-5）²+（y-4）²=13，
∵圆x²+y²=m与圆C相交，
∴|$\sqrt{m}$-$\sqrt{13}$|＜$\sqrt{{5}^{2}+{4}^{2}}$＜$\sqrt{m}$+$\sqrt{13}$，
∴54-2$\sqrt{533}$＜m＜54+2$\sqrt{533}$．

点评 本题考查圆的方程，考查圆与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．