题目内容
7．为了整顿道路交通秩序，某地考虑对行人闯红灯进行处罚，为更加详细闯红灯人数的作用，在某一个路口进行了五天试验，得到当天的处罚金额与当天闯红灯人数| 当天处罚金额x（单位：元） | 0 | 5 | 10 | 15 | 20 |
| 当天闯红灯的人数y | 80 | 50 | 40 | 20 | 10 |
（2）根据统计数据，上述路口每天经过的行人约为400人，每人闯红灯的可能性相同，在行0元处罚的情况下，记甲、乙、丙三人中闯红灯的人数为X，求X的分布列和数学期望相互独立）．
附：回归直线方程中系数计算公式b=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n\overline{{x}^{2}}}$，$\overline{a}$=$\overline{y}$-b$\overline{x}$．
分析 （1）由已知求出$\overline{x}$，$\overline{y}$，$\sum _{i=1}^{5}$xiyi，$\sum _{i=1}^{5}$${x}_{i}^{2}$，代入回归系数公式，求出回归系数，可得回归方程；
（2）由已知可得每人闯红灯的概率为$\frac{1}{5}$，进而得到X的分布列和数学期望．
解答 解：（1）由已知可得：$\overline{x}$=$\frac{1}{5}$（0+5+10+15+20）=10，$\overline{y}$=$\frac{1}{5}$（80+50+40+20+10）=40，
$\sum _{i=1}^{5}$xiyi=0×80+5×50+10×40+15×20+20×10=1150，
$\sum _{i=1}^{5}$${x}_{i}^{2}$=0+25+100+225+400=750，
∴$\hat{b}$=$\frac{\sum _{i=1}^{5}{x}_{i}{y}_{i}-5\overline{x}\overline{y}}{\sum _{i=1}^{5}{{x}_{i}}^{2}-5\overline{{x}^{2}}}$=$\frac{1150-5×10×40}{750-5×10×10}$=$-\frac{17}{5}$，
$\hat{a}$=$\overline{y}$-$\hat{b}$$\overline{x}$=40-（$-\frac{17}{5}$）×10=74，
故回归直线方程$\hat{y}$=$-\frac{17}{5}$x+74；
（2）上述路口每天经过的行人约为400人，在行0元处罚的情况下，闯红灯的人数为80，
故每人闯红灯的概率为$\frac{1}{5}$，
记甲、乙、丙三人中闯红灯的人数为X，则X的取值可能为：0，1，2，3，
其中P（X=0）=$（1-\frac{1}{5}）^{3}$=$\frac{64}{125}$，
P（X=1）=${C}_{3}^{1}$${\frac{1}{5}（1-\frac{1}{5}）}^{2}$=$\frac{48}{125}$，
P（X=2）=${C}_{3}^{2}$${（\frac{1}{5}）}^{2}$${（1-\frac{1}{5}）}^{\;}$=$\frac{12}{125}$，
P（X=3）=${（\frac{1}{5}）}^{3}$=$\frac{1}{125}$，
X的分布列为：
| X | 0 | 1 | 2 | 3 |
| P | $\frac{64}{125}$ | $\frac{48}{125}$ | $\frac{12}{125}$ | $\frac{1}{125}$ |
点评 本题考查线性回归方程，考查离散型随机变量的分布列与期望，考查学生的计算能力，属于中档题．
| A． | （0，$\frac{1}{2}$） | B． | （-∞，0）∪（$\frac{1}{2}$，+∞） | C． | （$\frac{1}{2}$，+∞） | D． | （$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{2}+1}{4}$] |
| A． | a＞1 | B． | a≤1 | C． | a＜-1 | D． | a≤-1 |