Question

13．已知函数f（x）=$\frac{1}{3}$x³+ax²+bx，且f′（-1）=0．
（1）试用含a的代数式表示b；
（2）求f（x）的单调区间．

Answer 1

分析 此题考察函数的求导和利用导数研究函数单调性．（1）可由公式求导，得出a和b的关系式．（2）求导，根据f′（x）的符号，进而确定f（x）的单调区间：f′（x）＞0，则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f′（x）＜0，则f（x）在对应区间上是减函数，对应区间为减区间．该题又用到二次函数的知识分类讨论．

解答 解：（1）由f′（x）=x²+2ax+b，
∴f′（-1）=1-2a+b=0
∴b=2a-1
（2）f（x）=x³+ax²+（2a-1）x，
∴f′（x）=x²+2ax+2a-1
=（x+1）（x+2a-1）
令f′（x）=0，得x=-1或x=1-2a
①当a＞1时，1-2a＜-1
当x变化时，根据f′（x）与f（x）的变化情况得，
函数f（x）的单调增区间为（-∞，1-2a）和（-1，+∞），单调减区间为（1-2a，-1）
②当a=1时，1-2a=-1，此时有f′（x）≥0恒成立，且仅在x=-1处f′（x）=0，故函数f（x）的单调增区间为R、
③当a＜1时，1-2a＞-1，同理可得，函数f（x）的单调增区间为（-∞，-1）和（1-2a，+∞），
单调减区间为（-1，1-2a）
综上：当a＞1时，函数f（x）的单调增区间为（-∞，1-2a）和（-1，+∞），单调减区间为（1-2a，-1）；
当a=1时，函数f（x）的单调增区间为R；
当a＜1时，函数f（x）的单调增区间为（-∞，-1）和（1-2a，+∞），单调减区间为（-1，1-2a）

点评 此题是常规题型，难点是通过f′（x）的符号，确定f（x）的单调区间