Question

8．已知f（x）=sin（2x-$\frac{5π}{6}$）+2cos²x．
（1）写出f（x）的对称中心的坐标和单增区间；
（2）△ABC三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f（A）=0，b+c=2，求a的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用两角和与差的正弦公式、二倍角的余弦公式变形化简解析式，利用正弦函数的性质和整体思想求出f（x）的对称中心、单调增区间；
（2）由（1）化简f（A）=0，由内角的范围、特殊角的正弦值求出A，根据余弦定理和基本不等式求出a的最小值．

解答 解：（1）由题意得，f（x）=sin2xcos$\frac{5π}{6}$-cos2xsin$\frac{5π}{6}$+1+cos2x
=$-\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}$cos2x+cos2x+1=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+$\frac{1}{2}$cos2x+1
=$sin（2x+\frac{5π}{6}）+1$，
由$2x+\frac{5π}{6}$=kπ（k∈Z）得，$x=\frac{kπ}{2}-\frac{5π}{12}$（k∈Z），
所以f（x）的对称中心是（$\frac{kπ}{2}-\frac{5π}{12}$，0），（k∈Z）．
由$-\frac{π}{2}+2kπ≤2x+\frac{5π}{6}≤\frac{π}{2}+2kπ$（k∈Z）得，$-\frac{π}{3}+kπ≤x≤-\frac{π}{6}+kπ$，（k∈Z）．
所以f（x）的单调区间是[$-\frac{π}{3}+kπ，-\frac{π}{6}+kπ$]（k∈Z）；
（2）由（1）可得，f（A）=$sin（2A+\frac{5π}{6}）+1$=0，则$sin（2A+\frac{5π}{6}）=-1$，
又0＜A＜π，则$\frac{5π}{6}＜2A+\frac{5π}{6}＜\frac{11π}{6}$，
所以$2A+\frac{5π}{6}=\frac{3π}{2}$，解得A=$\frac{π}{3}$，
因为b+c=2，所以由余弦定理得，a²=b²+c²-2bccosA
=（b+c）²-2bc-bc=4-3bc，
因为b+c≥2$\sqrt{bc}$，所以bc≤1，当且仅当b=c时取等号，
所以a²≥4-3=1，即a≥1，
所以a的最小值是1．

点评 本题考查余弦定理，两角和与差的正弦公式、二倍角的余弦公式变形，以及正弦函数的性质、基本不等式，注意内角的范围，考查化简、计算能力．