Question

【题目】如图，在四棱锥中，底面为边长为的正方形， ， 分别为， 的中点.

（1）求证： 平面；

（2）若， 平面，求直线与平面所成角的大小.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）.

【解析】试题分析：（1）设的中点为，连接， ，根据三角形中位线定理可得，进而得四边形为平行四边形，从而，由线面平行的判定定理可得 平面；（2）由（1）知， ，因为平面，可得平面， ，可证明平面， ， ， 两两垂直，以为坐标原点，向量， ， 的方向为轴， 轴， 轴的正方形建立如图所示的空间直角坐标系，求出直线的方向向量与平面的法向量，利用空间向量夹角余弦公式可得直线与平面所成角的正弦值，从而可得结果.

试题解析：（1）设的中点为，连接， ，

则，而

∴∴四边形为平行四边形.

∴，而平面， 平面

∴平面；

（2）由（1）知， ，因为平面

所以平面，而， 平面

∴

∵， ，

∴平面， 平面

∴，而， ，所以平面

（注意：没有证明出平面，直接运用这一结论的，后续过程不给分）

由题意， ， ， 两两垂直，以为坐标原点，向量， ， 的方向为轴， 轴， 轴的正方形建立如图所示的空间直角坐标系

在三角形中平面，而平面，知，而的中点为知，则， ， ， ，

， ， 为平面的一个法向量.

设直线与平面所成角为，

所以直线与平面所成角为.

【方法点晴】本题主要考查线面平行的判定定理、直线和平面成的角的定义及求法，属于难题.证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面. 本题（1）是就是利用方法①证明的.