题目内容
【题目】已知函数,函数
,
,
且
.
(1)讨论函数的单调性;
(2)若,且对任意的
,总存在
,使
成立,求实数
的取值范围.
【答案】(1)当时,
在
上单调递减,当
时,
在区间
上单调递减,在区间
上单调递增;(2)
.
【解析】试题分析:(1)确定函数定义域,对函数求导,根据导数的正负确定单调区间;(2)分别表示出的值域,根据
的值域应为
的值域的子集可得答案.
试题解析:(1),………………………………1分
当时,
,则
在
上单调递减.……………………2分
当时,
得
;由
得
.…………………………4分
∴在区间
上单调递减,在区间
上单调递增.………………5分
(2)∵对任意的,总存在
,使
,
∴对任意的,总存在
,使
,………………6分
设在
上的值域为
,函数
在
上的值域为
,则
.……7分
当时,
,即函数
在
上单调递减,∴
,…………………………………………………………8分
,
①当时,
在
上是减函数,此时,
的值域为
,
∵,又
,∴
,即
.………………10分
②当时,
在
上是增函数,此时,
的值域为
,∵
,
∴,∴
,
综上可知的取值范围是
.…………………………12分
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