题目内容
【题目】已知定义域为的单调递减的奇函数
,当
时,
.
(1)求的值;
(2)求的解析式;
(3)若对任意的,不等式
恒成立,求实数
的取值范围.
【答案】(1);(2)
;(3)
.
【解析】试题分析:(1)根据函数为奇函数得,结合当
时,
,即可求出
的值;(2)由定义域为
的函数
是奇函数,知
.当
时,
,由函数
是奇函数,知
,由此能求出
的解析式;(3)由
是
上单调递减的奇函数,
,得
即
恒成立,再由根的判别式小于零即可求出实数
的取值范围.
试题解析:(1)f(﹣1)=﹣f(1)=﹣(﹣2)=
;
(2)∵定义域为R的函数f(x)是奇函数,
∴f(0)=0,
当x<0时,﹣x>0,
f(﹣x)=﹣﹣2﹣x ,
又∵函数f(x)是奇函数,
∴f(﹣x)=﹣f(x),
∴f(x)=+2﹣x ,
综上所述f(x)=.
(3)∵f(1)=﹣<f(0)=0,
且f(x)在R上单调,
∴f(x)在R上单调递减,
由f(t2﹣2t)+f(2t2﹣k)<0,
得f(t2﹣2t)<﹣f(2t2﹣k),
∵f(x)是奇函数,
∴f(t2﹣2t)<f(k﹣2t2),
又∵f(x)是减函数,
∴t2﹣2t>k﹣2t2
即3t2﹣2t﹣k>0对任意t∈R恒成立,
∴△=4+12k<0得k<﹣,即为所求.
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